【数学】共通テスト対策におすすめの参考書一覧

【数学ⅠA】大学入学共通テストの概要とセンター試験と共通テストの違い

では早速大学入学共通テストとセンター試験の数学ⅠAの問題等での違いについてご紹介していきましょう。違いは大きく分けて4つあります。

①大学入学共通テストの試行問題では日常生活と関連した問題が出題されました。

大学入学共通テストの試行調査の数学ⅠAの第1問では、「図形と計量」という問題で、学校の階段の建築基準法の資料を提示しながら、踏面の大きさの範囲を考察する問題が出題されました。

②大学入学共通テストの試行問題では正しい選択肢をすべて選ぶ問題が出題されました。

大学入学共通テストの試行調査の数学ⅠAの第1問では、「2次関数」で、不等式の問題が出題されました。不等式の解が0より大きい場合は、どの操作をしたときか、場合分けをしてそれぞれ選択肢からすべて選ばせる問題が出題されました。また、整数の性質では、3gと8g分銅を、他の質量の分銅との組み合わせで釣り合わない場合を「すべて」選ぶ問題もありました。

③対話形式の問題が出題されました。

データ分析の問題で、太郎と花子の対話の問題が出題されていたり、場合の数と確率の問題で、くじをひく確率についても太郎さんと花子さんが対話をしていたりします。対話形式の問題は他の科目の大学入学共通テストでも出されている新傾向なのかもしれません。

④問題文が長くなりました。

センター試験に比べ文章量が多いです。そのため、読解力を要する問題が多いです。

 

大学入学共通テストの数学ⅠA は記述問題が2020年度は一旦は白紙になっています。それでも、センター試験の問題に比べ傾向が変わっている部分がいくつもあります。以前に比べ、公式や用語の定義をしっかり理解しているかも出題しているような問題も出されています。

 

続いて大学入学共通テストの試行調査とセンター試験の平均点などの情報をお伝えします。

①大学入学共通テスト

  • 試験時間:70分(平成30年度試行調査参考)
  • 大問数: 4題
  • 満点:100点

 

センター試験に比べ、10分長い70分で受験します。大学入学共通テストの平成30年の平均点は26.61点でした。

 

②センター試験

  • 試験時間:60分
  • 大問数:4問
  • 満点:100点

 

2020年に行われた数学1Aの平均点は53点前後でした。

2020年度は数学の記述問題は一旦は見送られることになりました。しかし、数学ⅠAの試験時間はセンター試験に比べ、10分長い70分となっております。

【必見】共通テストの数学の記述式問題と導入延期について解説します!

 

大学入学共通テスト試行問題(2017年度版)の「数学1A」の試験分析

では早速大学入学共通テストの試行調査の数学1Aの解説をさせていただきます。

 

①第1問 2次関数・三角比

第1問は2次関数の問題と三角比の問題でした。計算等はセンター試験の問題に比べ少なくなりました。まずは2次関数の問題について解説していきます。

(1)の問題では、2次関数を平方完成する必要がありました。また各条件を整理しながら、a、b、cがそれぞれ正の数なのか負の数なのか吟味していく必要がありました。

  • 2次関数の形状が下に凸かどうか
  • 放物線の軸が負
  • y切片(y軸との交点のy座標)が正
  • 軸と2点で交わる

これらの条件を吟味しながら計算していく必要があります。

まず、グラフは下に凸なのでaは正になります。(aが負ならばグラフは上に凸のグラフになります。)

ーb/2aが2次関数の軸のX座標の値になりますが、式Aより0<aになりまして、両辺に2aをかけても符号の向きは変わりません。そのため符合も変わらないためbの値は負になります。

y切片がcの値であるが、y切片は正であるため、cは正となる。

またグラフはX軸と2点の交点を持つのです。そのため判別式Dを使いながら、計算するとDの値が正となるものは③です。そのため③が答えとなります。

(2)では、平行移動の問題です。実際に平行移動をしてみるとcの値だけ変化させると、グラフはy軸方向に移動することがわかります。2が答えとなります。

(3)では、実際に判別式Dを使ってみると、x軸上にあることがわかるため、ウは1が正解となります。

(4)では、図より、aが正の値、cが負の値であり、頂点が第4象限(関数の表でいうと右下のエリア)になります。この時bの値だけ変えるとy座標は0より小さいことがわかります。以上より、頂点のx座標は必ず負で、y座標は正にも負にもなるから、頂点は第2象限と第3象限を移動することもわかります。

以上が2次関数の問題でした。

続いて三角比の問題について解説していきます。

(1)は、A=60度の三角形ABCにおいて、余弦定理を用いると

4cos²B+4sin²C-4√3×cosB×sinC

という式ができあがります。B=90°とすると、C=30°だとわかり(もともとAが60°だとわかっているためです。)、cosBが0の時、sinCが1/2となり、Xの値は1とわかりました。そのため、オは0, カは3とわかりました。

(2)は、Bが13°だとわかると、Cは107°であり、sin(180-Θ)をするとsinΘとなる性質を利用して、sinCの値を導くことが出来ます。

sinC  = sin(180°-107°)=sin73°

となります。キは4とわかりました。クは2とわかりました。

(3)は、消去法で問題を解いていきましょう。選択肢で正しいのは3となり、ケは3となります。

(4)は、外接円の半径の求め方は、正弦定理を利用することを覚えていると解きやすいです。正弦定理を利用し、式変形を行うと

BC=2Rsin60°=√3R

となります。これらの指揮を使って変形すると、解答が導けるでしょう。すると、コは3、サは5、シは1となります。

(5)はBが鋭角の時、点Cから直線ABに線を引いたと仮定し、計算していきます。

なので、これに式D,式Eを代入すると

AB=Rsin⁡B+3Rcos⁡B

とあらわすことができます。

(6)はcosの値を使いながら計算していきます。

(7)は命題の問題です。必要条件・十分条件などを上手に使っていきましょう。

 

②第2問 最大・最小 データ分析

(1)は最大最小の問題でした。大学入学共通テストに代わり、実際の生活と数学が関連するような問題の出題が目立ちました。この問題はTシャツ1枚の価格と販売数について調査結果をもとにTシャツの1枚の価格をX軸上にかき、Y軸の販売数は、「その価格のときにTシャツが何枚売れるか」を書きました。すると累積人数をYとすることができ、1次関数とみなすことが出来ました。1次関数はy=ax+bを利用して計算します。

そのため、アの解答欄には、①を、イの解答欄には⑤で解答するとよさそうです。

(2)は、実際に使われている座標を用いて2次関数のグラフを書いてみるとよさそうです。2次関数のグラフを元に、平方完成したり、形状を理解するだけでどの値になると最大になるかわかります。この式が最大となるのは、Xが1300の時でした。

(3)は実際に利益についても(1)や(2)を使いながら考えていきましょう。

以上が最大最小の問題でした。続いて、データ分析の問題です。

(1)が観光客数と消費総額の関係や関連を考えてみましょう。これらには強い相関(関連しているということです)が見られるため、相関係数は0.83だと考えてみましょう。

※豆知識 相関の強さ相関係数の値 相関係数の強弱

相関係数の値 相関係数の強弱
1~0.7 強い正の相関
0.7~0.4 中程度の正の相関
0.4~0.2 弱い正の相関
0.2~-0.2 ほとんど関係がない
-0.2~-0.4 弱い負の相関
0.4~-0.7 中程度の負の相関
-0.7~-1 強い負の相関

相関についてこれらの知識も合わせて持っておくとよいかもしれません。

(2)は消費額の値段をXとおき、消費した総額をYとおくと、Y=aXの一次関数となる。この傾きが最大となる都道府県を選べば大丈夫です。

(3)は原点と結んだ時最大となる点を求めてください。

(4)は一つひとつ消去法で考えていきましょう。

以上が第2問の問題でした。

③第3問 確率

第3問は確率の問題でした。各地点における道路とそれぞれの確率について表にまとめました。こちら以下を参考に解説していきます。

地点 道路 確率
A地点 12/13
A地点 1/13
C地点 7/8
C地点 1/8
E地点 1/2
E地点 1/2

 

以上を参考に確率を考えていきます。

(1)を渋滞中の表示がない条件下では、A地点で①の道順を選択する確率は12/13の確率です。よってアは1、イは2、ウは1、エは3でした。

(2)はD地点に行く場合分けをする必要があります。AからCを経由してDに向かう経路とAからEを経由してDを通る経路の2つのパターンがあります。

「AからCを経由してDに向かう経路」では、12/13×7/8を計算するとこちらのルートを通る確率がわかります。

12/13×7/8 = 21/26

「AからEを経由してDを通る経路」では、1/13×1/2を計算するとこちらの確率を通るルートがわかります。

1/13×1/2       =    1/26

これらをたして 21/26+1/26の値が、22/26となります。

そのため、オは1、カは1、キは1、クは3となります。

(3)渋滞中の表示がない場合、Eを通過する確率について考えてみましょう。条件つき確率を使っていきます。

1/26 ÷ 11/13 = 1/22

となります。

(4)①の12/13の部分でのみ渋滞の表示がされる場合、①を選ぶ確率は12/13×2/3で8/13となります。④を選ぶ場合は、1-8/13=5/13となります。これらを利用してAから出発してDを経由してEにいく道のりを場合分けして考えていきましょう。

①AからCを経由してDへ進み、Bに行くときは 8/13×7/8×1=7/13となります。

②AからEを経由してDへと進み、Bに行く際は、5/13×1/2×1=5/26となります。

以上より、7/13+5/26をたして、19/26となります。

(5)は場合分けの問題です。いくつかのパターンで考えて、通過する台数を1000以下でかつ最大にする場合③があてはまります。

以上が確率の問題でした。

今回は第1問から第3問まで紹介させていただきました。

続いて2018年度の試行調査の数学ⅠAの解説に参ります。

センター試験と大学入学共通テスト試行問題のここが違う!共通テストを元に解説!

では、早速新たな傾向が表れた問題を抜粋し、説明していきたいと思います。

階段の傾斜と一段の高さの条件がすでに文章中で与えられています。そのため、基準を満たすための踏面の条件を不等式を用いて記述します。なおこの際、正答例で≦と<を区別して書かなければ正答とならないそうです。また33度の三角比を記載しなければ間違えとするそうです。

 

今までの三角比の問題は、三角比でも典型的な角度(30度、60度、45度など)の角度やそれに付随する角度を用いて計算する問題が多いように感じます。しかし、今回の大学入学共通テストの問題では、三角比の本質をつくような問題が出題されていました。

【数学ⅡB】大学共通テストとセンター試験の違い

私が問題を解いてみたところ、センター試験との大きな違いは2つありました。

まず一つ目に、大学共通テストはセンター試験より深い思考力を測ることを目的として変えられています。

そのため、センター試験よりも文章問題が多くなっていく傾向にあります。

この傾向は数学2Bにおいても変わらず、他の多くの科目でも出現するようになった太郎くんと花子さんが2Bにおいても登場しました。

また、普段の生活に関係する問題が出題されるようになったことも大きな特徴となっていました。

これはまた後に取り上げますね。

もう一つの違いは、形式として前の問題を用いて解く問題が少なくなったことです。

解法も従来ならば一つだけでしたが今回から複数の解答方法が示されており、片方の解き方がわからなくとも最後の解答までたどり着けるように工夫されていました。

では続いて大学共通テストの試験分析を行っていきましょう。

新たな傾向がよくあらわれた問題の抜粋

上の問題は、大学共通テスト問題の大問2です。

この問題は先ほど少し言及したように、エネルギー摂取と資質関係の上限を考えるかなり実践的の問題となっており、勉強を日常生活に役立てさせる狙いがよく表れています。

つまり、とても顕著にセンター試験との差があらわれた問題だったのでここで紹介します。

問題内容としては、二つの条件から、その条件の中でエネルギーと脂質の量が最大となる食品の組み合わせを考える問題でした。

基本的な計算ができれば得点できる問題になっていることから、やはり計算能力というよりは

日常考えることを数学的な問題に落とし込む思考力が試されています。

そのため、考えることさえできれば完答が可能な問題となっていました。

対策としては、まずはこのような形式の問題が出るということをしっかり覚えておく、ということ。

そして、文章問題の意図を素早く抑えて数学的な問題に解釈しなおすことをいしきしましょう。

演習量がものをいうはずですので是非前もって対策してください。

よくあるQ&A

センター試験の過去問題は使えますか?

センター試験の過去問題も共通テスト対策にはとても有効です。

共通テストになったことで思考力を問うような問題が増えることが試行調査からも明らかになっています。しかし思考力を問う問題では前提としてセンター試験に出ているような問題の知識がなければいけません。

そのため、センター試験を演習として利用するのはとても有効な対策方法といえます。

しかし、センター試験過去問問題の優先順位はそれほど高くないことには注意しましょう。

共通テスト対策のために使える問題として、センター試験の過去問題・共通テストの試行調査・市販の予想問題集の3つが挙げられます。

理科・社会は比較的傾向の変化は少ないですが、まずは試行調査の内容をしっかりと理解するようにしてください。

その次におすすめなのが市販の予想問題集です。

傾向が変わることを考えるとセンター試験の過去問題よりもこちらのほうがおすすめといえます。

そして最後にセンター試験の過去問題ををしましょう。そのため優先順位は

  1. 施行調査
  2. 市販の予想問題集
  3. センター試験過去問

になります。

共通テストの予想問題集は使ったほうが良いですか?

とても有効です。しかし、予想問題集として発売されていても内容は異なることがあるので、注意するようにしてください。

具体的には

センター試験の過去問題を扱っている場合

試行調査を扱っている場合

オリジナルの予想問題を扱っている場合

の3つがあります。

「予想問題」という言葉だけを見て買うのではなく、内容もきちんと確認するようにしましょう。

前の質問で述べたように、この3つの優先順位は

  1. 施行調査
  2. 市販の予想問題集
  3. センター試験過去問

となりますので、自分に必要なものを確認してから使うようにしましょう。

予想問題集や過去問題に取り組むのはいつ頃がいいですか?

早ければ早いほど良いです。

しかし基礎的な知識を十分に身につけられていない段階では問題を解いても意味がありません。

こちらの記事ではゼロから早慶まで対応するための参考書のルートを紹介しています。

これでゼロから早慶まで!おすすめ数学ⅠAの参考書ルート

これでゼロから早慶まで!おすすめ数学ⅡBの参考書ルート

各参考書がどのレベルに対応するものかなのかや、終了後に取り組んでほしい参考書なども紹介されています。

こちらの記事を参考にしながら、日東駒専・大東亜帝国レベルの参考書までやってから予想問題集や過去問題に取り組むのがおすすめです。

【数学】共通テスト対策におすすめの参考書一覧

教学社 共通テスト問題研究 数学

河合塾 共通テスト攻略レビュー 数学

河合塾 共通テスト総合問題集 数学

Z会 共通テスト実践模試 数学

Z会 はじめての共通テスト対策 数学

駿台 共通テスト問題集 センター過去問編 数学

KADOKAWA 大学入学共通テスト予想問題集 数学

 

教学社 大学入学共通テストスマート対策 数学

駿台 共通テスト問題集 マーク式実践問題 数学

各参考書の特徴を紹介!

上では共通テストで使える参考書一覧を記載しましたが、出版社によって参考書には違いがあります。

そこでここでは各参考書ごとの特徴をご紹介します!

科目ごとに収録内容には多少のばらつきがあります。そのためここではおおまかな傾向を挙げますが、実際に購入する際には自分に必要な参考書の中身を確認するようにしてください。

「数学社 共通テスト問題研究」の特徴

試行問題

2回分

センター過去問

本試験8年分(2013年~2020年)

追試験2年分(2018年・2019年)

オリジナル問題

2回分

「河合塾 大学入学共通テスト攻略レビュー」の特徴

試行問題

1回分(2018年実施分)

センター過去問

本試験6年分(2015~2020年)

追試験3年分(2017~2019年)

オリジナル問題

なし

「河合塾 共通テスト総合問題集」の特徴

試行問題

1回分(2018年実施分)

センター過去問

なし

オリジナル問題

5回分

「Z会 共通テスト実践模試」の特徴

試行問題

1回分

センター過去問

なし

オリジナル問題

収録あり

「Z会 はじめての共通テスト対策」の特徴

試行問題

2回分

センター過去問

なし

オリジナル問題

収録あり

「駿台 共通テスト問題集 センター過去問編」の特徴

試行問題

2回分

センター過去問

本試験5年(2016~2020)

追試験3年(2017~2019)

オリジナル問題

なし

「教学社 大学入学共通テストスマート対策」の特徴

試行問題

1回分

センター過去問

収録あり

オリジナル問題

収録あり

「駿台 共通テスト問題集 マーク式実践問題編」の特徴

試行問題

2回分

センター過去問

なし

オリジナル問題

収録あり

他科目の共通テスト対策情報の紹介

アクシブblog予備校では各科目の共通テスト分析記事を作成しています。

ぜひ参考にしてみてください。

【全科目まとめ】共通テスト対策におすすめの参考書一覧

 



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